Алгоритмические приёмы решения нестандартных задач в обучении математике младших школьников

Аннотация: в статье рассматривается роль нестандартных задач в обучении математике и их значение для развития логического и критического мышления обучающихся. Обосновывается необходимость включения нестандартных задач в образовательный процесс как средства формирования познавательной активности и умения применять знания в новых, нетипичных ситуациях. Работа по алгоритму с нестандартными задачами способствует лучшему усвоению решений таких задач, а также развивает мыслительную самостоятельность у обучающихся. Материалы статьи могут быть использованы учителями начальных классов в урочной и внеурочной деятельности.

В современное время, в век компьютерных технологий, без математики невозможно обойтись ни в одной области знаний. Поскольку в математике заложены огромные возможности для развития мыслительной деятельности детей.

Значительную роль играют задачи в обучении математике. В них заложены большие возможности для повышения общего и математического образования обучающихся, развития логического мышления, умения быстро находить решения в нестандартных ситуациях.

Нестандартные задачи занимают особое место в системе школьного математического образования, так как они не имеют заранее заданного способа решения и требуют от обучающихся самостоятельного поиска пути рассуждений. В отличие от типовых заданий, решение которых осуществляется по известному образцу, решение нестандартных задач предполагает активизацию мыслительной деятельности, анализ условий и построение собственной стратегии решения.

«Нестандартные задачи» (по Л.М. Фридману) - это задачи, для которых в курсе математики нет общих правил и положений, определяющих точную программу их решения [2, с.5]. Задачи такого типа находят все более частое и широкое применение в обучении математике. Они помогают развивать критическое мышление, креативность и способность анализировать ситуации вне привычных шаблонов.

Решая нестандартные задачи, учащиеся применяют не только готовые алгоритмы, но и самостоятельно находят новые способы решения, развивают сообразительность, учатся переносить знания в новую ситуацию.

Нестандартные задачи в методике обучения математике рассматриваются не как дополнение к учебному материалу, а как важный компонент образовательного процесса. Ю.М. Колягин подчёркивал, что «обучение решению задач должно быть направлено ... на формирование общих способов деятельности». [1, с. 6]

Несмотря на творческий характер нестандартных задач, их обучение требует определённой методической упорядоченности. Поэтому целесообразно применять алгоритм для получения искомого результата. Действия должны выполняться в установленном порядке - алгоритме. Алгоритмы в данном случае не подменяют творческий поиск, а выполняют функцию ориентира, помогая обучающимся выстроить логическую последовательность рассуждений.

На ранних этапах обучения учащимся полезно давать памятки, включающие все шаги решения, а также использовать серию однотипных задач. Рассмотрим алгоритмы решения некоторых нестандартных задач.

Задачи на принцип Дирихле
Принцип Дирихле («Принцип ящиков») - утверждение, устанавливающее связь между объектами «кроликами» и контейнерами «клетками» при выполнении определённых условий. В некоторых языках утверждение известно, как «принцип голубей и ящиков», когда объектами являются голуби, а контейнерами - ящики.

Наиболее распространена следующая формулировка этого принципа:
Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.

Для частных случаев возможна иная формулировка:
Если кролики рассажены в клетки, причём число клеток больше, чем число кроликов, то, как минимум одна клетка пуста.

Алгоритм решения задач с помощью принципа Дирихле:
1. Определить, что в задаче является «клетками», а что «кроликами»;
2. Сравнить количество клеток и количество кроликов.
Чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «кроликов» на oдну (или бoлее);
3. Сделать вывод, выбрав для решения соответствующую формулировку принципа Дирихле.

Задачи, решаемые с помощью диаграмм Эйлера-Венна
Для лучшего представления множества используют диаграммы Эйлера-Венна. Часто множества изображают кругами. Эти круги обычно называют «кругами Эйлера» по имени математика Леонарда Эйлера. Это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества, а снаружи – элементы, не принадлежащие множеству.

Алгоритм решения задач с помощью метода Эйлера-Венна:

• Прочитать и кратко записать условие задачи;
• Изобразить каждое множество кругом на плоскости заданные по условию множества;
• Обозначить области пересечения и их количество, записать исходные данные в круги;
• Двигаться по принципу от известного к неизвестному;
• Записывать промежуточные результаты в части круга (диаграммы);
• Найти недостающие данные;
• Проверить решение;
• Записать ответ.

Задачи на определение фальшивoй мoнеты взвешиванием
Важный принцип решения такoвых задач - последoвательнoе деление мнoжества вариантов на три равные части. Пoсле первoгo деления дoлжнo oстаться не бoлее трёх пoдoзрительных мoнет, после второй – не более одной подозрительной монеты, кoтoрая и является фальшивой.

Задачи на переливания
Задачи на переливание – это задачи, в которых с помощью сосудов известных ёмкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Все задачи на переливания можно представить двумя типами:
«Водолей» - задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых сосудов (стаканов, банок, бидонов) из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость и в который его можно наливать.
«Переливашка» - задачи, в которых необходимо разделить жидкость, находящуюся в большом сосуде, с помощью меньших по объёму сосудов. При этом жидкость можно только переливать из одного сосуда в другой.

При решении задач первого типа («Водолей») можно использовать такой алгоритм:
1. Наполнить большую тару жидкостью из бесконечного источника;
2. Перелить из большей тары в меньшую;
3. Вылить жидкость из меньшей тары;
4. Повторить действие 1-3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

При решении задач второго типа («Переливашки») используем следующий алгоритм:
1. Из большей тары наполнить тару промежуточного объёма;
2. Перелить жидкость из промежуточной тары в самую маленькую тару;
3. Перелить жидкость из самой маленькой тары в большую тару;
4. Повторять действия 2-3 до тех пор, пока тара промежуточного объёма не станет пустой;
5. Если тара промежуточного объёма опустела, то повторить действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

Задачи, решаемые с «конца»
Выделение данных задач в отдельную группу связано со способом рассуждения при решении, которое выполняется с «конца» задачи (метод инверсии). Основа данного метода состоит в следующем: если надо найти число, которое после ряда операций приводит к известному числу, то необходимо с известным числом произвести в обратном порядке все обратные операции. Ускорить решение такой задачи можно, если пойти в обратном направлении.

Алгоритм по решению задач методом «анализ с конца»
1. Составить таблицу
2. Таблицу необходимо заполнять с конца (с последнего шага), выполняя противоположные действия.
3. Выполнить проверку, подставив полученные значения в условие задачи и пройти процесс с начала.

Таким образом, включение алгоритмов в решение отдельных видов нестандартных задач в учебный процесс поможет организовать мыслительный поиск и формирует осознанное отношение к процессу решения. Это поспособствует развитию не только предметных, но и метапредметных результатов обучения.